Progressões geométricas – PG (termo geral)

A definição de PG vai além da fórmula de recorrência: trata-se de uma estrutura multiplicativa, em que a razão entre termos consecutivos é invariável, o que confere à sequência um comportamento previsível e fácil de modelar. Enquanto na PA somamos sempre a mesma parcela, aqui multiplicamos por um fator fixo, e isso muda tudo — o crescimento torna-se exponencial, não linear, e fenômenos como juros compostos, decaimento radioativo e crescimento populacional seguem exatamente esse padrão.

A base conceitual da PG é a ideia de multiplicação repetida: cada termo nasce do anterior por um fator constante $q$, a razão, de modo que o termo geral nada mais é do que o resultado de aplicar esse fator $n-1$ vezes a partir do primeiro termo, o que explica por que o expoente é $n-1$ e não $n$ — o primeiro termo não sofre multiplicação alguma, então $a_1 = a_1\cdot q^{0}$. A expressão $a_n = a_k\cdot q^{n-k}$ é a forma mais geral e poderosa, pois permite "pular" de qualquer termo conhecido para qualquer outro sem passar pelo primeiro, o que é essencial quando o problema fornece, por exemplo, $a_5$ e $a_9$ e pede a razão: basta montar $a_9 = a_5\cdot q^{4}$, donde $q^{4} = a_9/a_5$ e, dependendo do contexto, $q$ pode ser positivo ou haver duas raízes reais, exigindo análise do enunciado.

Vale lembrar que a PG é o caso discreto da função exponencial $f(n)=a_1\cdot q^{\,n-1}$, definida apenas para $n$ natural positivo, e é justamente essa natureza exponencial que faz a PG modelar juros compostos — onde o montante após $n$ períodos é $M = C(1+i)^n$, uma PG de razão $1+i$ —, o crescimento populacional a taxas percentuais fixas e a meia-vida de substâncias radioativas, em que a razão é $\tfrac12$ por período.

A ideia central dessa propriedade é explorar a simetria da PG em torno de um termo médio, escolhendo a variável de modo que o produto dos termos fique independente da razão. Isso acontece porque, ao escrever os termos igualmente espaçados em torno de um valor central, as potências da razão se cancelam no produto — exatamente o que o resumo já mostra para três e quatro termos. O que merece destaque é o motivo pelo qual isso funciona: numa PG de três termos, os expoentes são $-1, 0, 1$, cuja soma é zero; com quatro termos, usam-se expoentes $-3, -1, 1, 3$, também somando zero. Sempre que a soma dos expoentes for nula, o produto vira uma potência pura do termo central e a razão desaparece, transformando um sistema complicado numa equação simples de uma incógnita.

A escolha da razão também muda: para quatro termos simétricos, a razão entre termos consecutivos é $q^{2}$, não $q$, o que costuma confundir alunos na hora de montar o sistema. Veja um exemplo concreto: determine três números em PG cujo produto é $216$ e cuja soma é $21$. Escrevendo $\left(\frac{x}{q}, x, xq\right)$, o produto dá $x^{3}=216$, logo $x=6$. A soma fica $\frac{6}{q}+6+6q=21$, ou seja, $6q^{2}-15q+6=0$, cujas raízes são $q=2$ ou $q=\frac{1}{2}$, gerando as sequências $(3, 6, 12)$ ou $(12, 6, 3)$.

A propriedade da média geométrica ganha força quando você percebe que $y^2=xz$ é condição necessária e suficiente para que três números reais formem uma PG, embora isso não fixe a ordem em que aparecem: se $x,y,z$ satisfazem $y^2=xz$, então $x,y,z$ estão em PG nessa ordem, e também $z,y,x$ estarão, pois a igualdade é simétrica nos extremos; o que a relação garante é que $y$ é o termo central e $x,z$ os extremos, podendo a razão ser $q$ ou $1/q$. O ponto sutil é que a equação envolvendo quadrados não distingue $q$ de $-q$ no que tange ao módulo, por isso o uso do módulo na forma $|y|=\sqrt{xz}$: o sinal de $y$ é recuperado pela razão, não pela média.

A Propriedade III das progressões geométricas é, na prática, a versão multiplicativa do que a simetria dos índices faz na soma dos termos de uma PA, e sua demonstração nasce diretamente do termo geral. Escrevendo $a_{k}=a_{1}\cdot q^{k-1}$, dois termos simétricos em relação aos extremos, isto é, $a_{k}$ e $a_{n+1-k}$, têm produto $a_{k}\cdot a_{n+1-k}=a_{1}^{2}\cdot q^{(k-1)+(n-k)}=a_{1}^{2}\cdot q^{n-1}$. O expoente não depende de $k$: a soma dos índices $k+(n+1-k)=n+1$ é constante, e é isso que garante a igualdade $a_{1}\cdot a_{n}=a_{2}\cdot a_{n-1}=\cdots=a_{k}\cdot a_{n+1-k}$. Essa simetria vale para qualquer quantidade $n$ de termos, mas rende um atalho especial quando $n$ é ímpar: existe um termo central, de índice $k=(n+1)/2$, que é simétrico de si mesmo, logo $a_{\text{central}}^{2}=a_{1}\cdot a_{n}$.

Por exemplo, na PG de primeiro termo $2$ e razão $3$ com $7$ termos, os extremos são $2$ e $2\cdot3^{6}=1458$, cujo produto é $2916$; o termo central é $a_{4}=2\cdot3^{3}=54$ e, de fato, $54^{2}=2916$. Com esse valor conhecido, o produto total dos sete termos é $2916^{7/2}$, pois cada par simétrico contribui com o mesmo fator e sobra o central, cujo quadrado já é esse fator.

A ideia central por trás do produto dos n primeiros termos de uma PG é transformar um produto em soma, explorando a propriedade fundamental das potências: o expoente do termo geral cresce linearmente com a posição. Como $a_k = a_1 \cdot q^{k-1}$, ao multiplicarmos $a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n$ obtemos $a_1^n \cdot q^{0+1+2+\cdots+(n-1)}$; a soma dos expoentes é uma PA de razão 1, cujo total é $\frac{n(n-1)}{2}$, o que justifica a fórmula fechada.

Vale notar que essa expressão só é prático para $q$ real não nulo e $a_1$ real; se $a_1 = 0$, o produto é zero para $n \ge 1$, e a fórmula não deve ser aplicada ingenuamente. Um detalhe frequentemente esquecido em prova é a relação com a média geométrica dos termos: quando a PG tem todos os termos positivos, $P_n$ é exatamente a potência n-ésima da média geométrica entre $a_1$ e $a_n$, o que explica a forma $P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$ e permite relacionar o produto com propriedades de simetria da sequência — por exemplo, em uma PG finita, o produto dos termos equidistantes dos extremos é constante. Para fixar, considere a PG $(1, 2, 4, 8, 16)$, com $a_1=1$, $q=2$ e $n=5$: usando a fórmula, $P_5 = 1^5 \cdot 2^{\frac{5\cdot 4}{2}} = 2^{10} = 1024$, que confere com $1\cdot2\cdot4\cdot8\cdot16=1024$; se tivéssemos $a_1=2$, a mesma PG seria $(2,4,8,16,32)$ e o produto valeria $2^5 \cdot 2^{10} = 2^{15} = 32768$, mostrando que o primeiro termo entra elevado à n-ésima potência.

Quando há termos negativos, a fórmula do módulo continua válida, mas o sinal do produto depende do número de fatores negativos: se $q>0$ e $a_1<0$, todos os termos são negativos, então $P_n$ é negativo se $n$ for ímpar e positivo se $n$ for par; se $q<0$, os sinais alternam e o produto pode ser positivo ou negativo conforme a quantidade de termos negativos, que é $\lceil n/2 \rceil$ quando $a_1<0$ e $q<0$.

Também é frequente o uso da forma $P_n = (a_1 \cdot a_n)^{n/2}$ para demonstrar identidades e resolver sistemas em que se conhece o produto e a soma de alguns termos, técnica muito explorada em questões que pedem para encontrar uma PG a partir de dados simétricos.

Em resumo, dominar essa fórmula significa reconhecer que o produto de uma PG é essencialmente uma potência com expoente quadrático em n, o que explica seu crescimento muito mais acelerado que o da soma e torna a ferramenta decisiva em problemas de comparação, contagem de dígitos e modelagem de fenômenos multiplicativos.