Inscrição e circunscrição no espaço

O ponto de partida é entender por que a secção meridiana funciona: todo plano que contém o eixo do cone corta a esfera (inscrita ou circunscrita) segundo um círculo máximo, e corta o cone segundo um triângulo isósceles cuja base é o diâmetro da base do cone e cujos lados iguais são duas geratrizes. Assim, a esfera inscrita tangencia a base e a superfície lateral exatamente nos pontos em que o círculo inscrito do triângulo tangencia a base e os lados, e a esfera circunscrita passa pela circunferência da base e pelo vértice, o que corresponde ao círculo circunscrito ao triângulo. Vale destacar que, no caso circunscrito, o raio $R$ da esfera pode tranquilamente ser maior que o raio da base, sem qualquer contradição; a igualdade só ocorre em situações-limite específicas, de modo que não se deve usar essa comparação como critério de verificação.

Como exemplo, tome um cone reto de altura $h=4$ e raio da base $a=3$; a geratriz mede $g=5$, e o triângulo meridiano tem lados $5$, $5$ e base $6$, logo semiperímetro $p=8$ e área $A=\frac{6\cdot 4}{2}=12$. A esfera inscrita tem $r=\frac{A}{p}=\frac{12}{8}=1{,}5$. Para a circunscrita, $R=\frac{abc}{4A}=\frac{5\cdot 5\cdot 6}{48}=3{,}125$, valor coerente com a potência de ponto na altura: se $x$ é a distância do vértice ao centro, então $x\cdot(h+? )$ — na prática, $R=\frac{g^2}{2h}=\frac{25}{8}=3{,}125$, confirmando que $R>a$.

O ponto central para dominar esfera e cubo é perceber que os três raios possíveis nascem de três direções perpendiculares entre si que partem do centro do cubo: a perpendicular às faces, a diagonal de uma face (que liga o centro a um ponto médio de aresta) e a diagonal espacial (que vai do centro a um vértice). Essas direções correspondem, respectivamente, a aproximar-se de uma face, de uma aresta ou de um vértice, e é exatamente o tipo de contato que define cada esfera. A esfera inscrita é aquela que "encosta" nas seis faces, tangenciando cada uma no seu centro; seu raio é a distância do centro do cubo ao plano de uma face, ou seja, meio lado.

A esfera tangente às arestas toca as doze arestas em seus pontos médios; o raio é a distância do centro até o ponto médio de uma aresta, que vale metade da diagonal da face. Já a esfera circunscrita contém os oito vértices; o raio é metade da diagonal espacial do cubo. Note a hierarquia: face < aresta < vértice e, por isso, os raios crescem nessa mesma ordem, com a razão $\frac{a}{2}:\frac{a\sqrt{2}}{2}:\frac{a\sqrt{3}}{2} = 1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$ — resultado que aparece muito em questões de múltipla escolha, pois basta ao aluno confundir os papéis para marcar a alternativa errada.

Há ainda variações com cubos inscritos em esferas (mesma relação, mas com o cubo dentro), com cortes por planos paralelos às faces — que geram círculos menores e permitem calcular seções — e com questões que combinam esfera e cubo a sólidos de revolução. Em todos os casos, a estratégia vencedora é sempre a mesma: desenhar a seção que contém o centro e o ponto de tangência, identificar qual das três direções está em jogo e aplicar o raio correspondente, lembrando que a diagonal espacial é a maior distância possível dentro do cubo e que, por isso, a esfera circunscrita é sempre a maior das três.

Quando dizemos que uma esfera está circunscrita a um tetraedro regular, todo vértice do tetraedro toca a superfície esférica; quando está inscrita, ela tangencia as quatro faces triangulares por dentro. O ponto-chave é que, num tetraedro regular, os centros das esferas inscrita e circunscrita coincidem com o baricentro, o que faz a relação $R=3r$ valer sempre. Para visualizar, considere a aresta $a=6$. A altura vale $h=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}$. Então $R=\frac{6\sqrt{6}}{4}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$ e $r=\frac{6\sqrt{6}}{12}=\frac{\sqrt{6}}{2}$, confirmando que o raio maior é o triplo do menor. Se você precisa do volume da esfera inscrita, basta $V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^3=\pi\sqrt{6}$; o da circunscrita seria 27 vezes maior.

Essa proporção $R=3r$ permite, por exemplo, achar rapidamente a razão entre áreas superficiais: $\frac{4\pi R^2}{4\pi r^2}=9$.

Dominar essas relações economiza tempo e evita contas longas com radicais.

O octaedro regular é um dos cinco sólidos platônicos e pode ser visualizado como dois quadrados perpendiculares que compartilham o mesmo centro, com um vértice acima e outro abaixo, unidos por oito faces triangulares equiláteras. Essa simetria é a chave para entender as esferas associadas: a circunscrita envolve o sólido, tangenciando os seis vértices, enquanto a inscrita fica interna, tangenciando o centro de cada uma das oito faces. Como o quadrado central tem lado $a$, sua diagonal mede $a\sqrt{2}$, e o raio da esfera circunscrita é exatamente metade dessa diagonal, pois os quatro vértices do quadrado equatorial estão sobre a esfera. Já o raio da esfera inscrita exige a distância do centro ao plano de uma face triangular; usando o baricentro da face e o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo centro, pelo centro da face e por um vértice, chega-se a $r=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.