Soma finita
$S_{n}=\frac{a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$, para $q\neq 1$; se $q=1$, $S_{n}=n\,a_{1}$. Não esqueça esse caso à parte — a fórmula geral divide por zero. Serve também para somar potências, como $1+2+4+\cdots+2^{n-1}=2^{n}-1$.
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A chave para entender a soma finita de uma PG está em perceber que ela nasce de uma manipulação algébrica simples, mas poderosa: escrevemos $S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}$ e, multiplicando tudo por $q$, obtemos $qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n}$. Subtraindo a primeira igualdade da segunda, quase todos os termos se cancelam, sobrando $qS_n-S_n=a_1q^{n}-a_1$, ou seja, $S_n(q-1)=a_1(q^{n}-1)$, de onde sai a fórmula que você já conhece. Esse cancelamento em cascata é o coração do resultado e explica por que ele funciona para qualquer número finito de termos, independentemente de a razão ser positiva, negativa, fracionária ou maior que um. Vale reparar que a fórmula também pode ser escrita como $S_n=\frac{a_1(1-q^{n})}{1-q}$, versão útil quando $|q|<1$, pois deixa o denominador positivo e facilita a análise do sinal.
Por isso, mais do que decorar a fórmula, convém treinar a identificação de $a_1$, $q$ e $n$ em cada problema, verificar se $q\neq1$ antes de aplicar a expressão geral e, quando o enunciado envolver valores muito grandes ou muito pequenos, usar a forma com $1-q^{n}$ para controlar melhor os sinais e as aproximações, lembrando ainda que, para $|q|<1$ e $n$ tendendo ao infinito, a soma finita se aproxima de $\frac{a_1}{1-q}$, ponte natural entre este tópico e a soma infinita que costuma aparecer na sequência do seu estudo.