$n!=n(n-1)\cdots 2\cdot 1$, com $0!=1$ por definição. A relação recursiva $n!=n\cdot(n-1)!$ é o que permite simplificar quocientes como $\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)$ — simplifique antes de calcular, nunca expanda fatoriais grandes.
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O fatorial nasce da necessidade de contar de quantas maneiras podemos ordenar ou selecionar elementos, e por isso aparece naturalmente em problemas de arranjo, permutação e combinação. Sua definição formal é indutiva: $1! = 1$ e, para todo inteiro $n \ge 1$, $n! = n \cdot (n-1)!$. Essa construção mostra que o fatorial cresce de forma extremamente rápida — $5! = 120$, $10! = 3\,628\,800$ e $20!$ já ultrapassa $2 \times 10^{18}$ —, o que explica por que a estratégia de simplificar antes de calcular não é apenas elegância, mas sobrevivência em prova.
Arranjo simples
$A_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)!}$: escolher $p$ entre $n$ com importância da ordem. Use quando trocar a ordem gera resultado diferente — pódio, senha, cargos distintos. Se a ordem não importa, é combinação; confundir os dois é o erro nº 1 de análise combinatória.
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O arranjo simples nasce de uma pergunta prática: de quantas maneiras posso selecionar e ordenar $p$ elementos distintos extraídos de um conjunto com $n$ elementos, sem repetir nenhum? A dedução é intuitiva e vale a pena reconstruí-la: para a primeira posição há $n$ escolhas; feita esta, restam $n-1$ para a segunda; depois $n-2$ para a terceira, e assim sucessivamente até a $p$-ésima posição, que dispõe de $n-p+1$ opções. Pelo princípio multiplicativo, $A_{n,p}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)$, produto que, multiplicando e dividindo por $(n-p)!$, se condensa na fórmula fatorial $A_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)!}$. Como exemplo concreto diferente do clássico, imagine uma prova de natação com 10 atletas em que só interessam os 3 primeiros colocados em suas colocações exatas: o ouro pode ser de qualquer um dos 10, a prata de um dos 9 restantes e o bronze de um dos 8, dando $A_{10,3}=10\cdot9\cdot8=720$ resultados possíveis — note que trocar dois nadadores de posição gera um pódio diferente, o que confirma o caráter ordenado do arranjo.
Casos particulares merecem atenção: $A_{n,n}=n!$ (permutação, quando se ordenam todos os elementos) e $A_{n,1}=n$; além disso, quando há elementos repetidos, a fórmula simples não se aplica, sendo necessário dividir pelas permutações das repetições, e restrições como "determinado elemento deve ocupar certa posição" pedem contagem por casos ou o princípio da inclusão-exclusão.
Permutação simples
$P_{n}=n!$: ordenar todos os $n$ elementos distintos. É o arranjo com $p=n$. Para manter elementos juntos, trate o bloco como peça única e multiplique pelas permutações internas; para separá-los, use o complementar ou o método das lacunas.
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A permutação simples responde a uma pergunta central da Análise Combinatória: de quantas maneiras podemos ordenar um conjunto de elementos distintos quando todos participam da sequência? O raciocínio fundamental é o princípio multiplicativo — para a primeira posição há $n$ escolhas, para a segunda $n-1$, e assim sucessivamente, até a última posição, com apenas $1$ opção, o que resulta no produto $n(n-1)(n-2)\cdots 1$, isto é, $n!$. Esse número cresce muito rápido, o que explica a diferença entre pequenos e grandes valores de $n$, e a convenção $0!=1$ garante coerência em casos de conjuntos vazios ou em fórmulas como as de combinação.
Permutação com repetição
$P_{n}^{a,b,c}=\frac{n!}{a!\,b!\,c!}$, com $a,b,c$ as repetições. Anagramas de ARARA: $\frac{5!}{3!\,2!}=10$. Dividir pelas repetições corrige a contagem múltipla de permutações indistinguíveis — o mesmo raciocínio dos caminhos numa malha quadriculada.
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A ideia central por trás da permutação com repetição é que, ao permutar elementos nem todos distintos, algumas trocas produzem configurações idênticas, e por isso precisamos corrigir o excesso de contagem: o raciocínio não é apenas decorar a fórmula, mas entender por que dividimos. Uma forma de enxergar isso é o argumento da etiquetagem: imagine que repetições sejam temporariamente "marcadas" como distintas, como etiquetar as três letras A de ARARA como A₁, A₂, A₃ e os dois R como R₁, R₂. Ao permutar as 5 letras agora todas distintas, teríamos 5! arranjos, mas cada configuração original corresponde a várias dessas permutações etiquetadas, porque trocar A₁ com A₂, A₃ entre si ou R₁ com R₂ não muda nada visualmente.
Como as três A podem ser reordenadas de 3! maneiras e os dois R de 2!, cada palavra real foi contada 3!·2! vezes, então o número verdadeiro é 5!/(3!·2!) = 10.
Permutação circular
$PC_{n}=(n-1)!$: em roda, o que importa são as posições relativas, então fixa-se uma pessoa e permutam-se as demais. Se rotações e reflexões forem equivalentes (colar de contas), divida ainda por 2: $\frac{(n-1)!}{2}$.
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A permutação circular nasce de uma mudança sutil no que significa "organizar": em vez de posições numeradas em fila, os elementos ocupam posições numa disposição fechada, sem começo nem fim. Por isso, duas arrumações que diferem apenas por um giro da roda representam a mesma configuração — o que vale é a vizinhança de cada elemento, ou seja, quem está à direita e à esquerda de quem. O raciocínio da fixação de um elemento funciona porque qualquer roda pode ser girada até colocar um elemento escolhido numa posição de referência; feito isso, a roda fica "ancorada" e o problema recai numa permutação linear dos demais.
Vale notar que a fórmula só se aplica quando todos os n elementos são distintos e todos participam do círculo; com repetições, o tratamento muda e exige cuidado extra.