Circunferência trigonométrica

A ideia central é que ângulo é uma medida de abertura, e medir é comparar com uma unidade escolhida; por isso existem várias unidades, cada uma conveniente a um contexto. O grau nasceu da astronomia babilônica, dividindo a volta em 360 partes, e seu sistema sexagesimal sobrevive nos minutos e segundos. O radiano, porém, é a unidade "natural" da Matemática: se você enrola o raio sobre a própria circunferência, o arco obtido define 1 rad, de modo que a volta completa, de comprimento $2\pi R$, corresponde a $2\pi$ rad. Daí a relação fundamental $360°=2\pi$ rad, ou $180°=\pi$ rad. O grado, que divide o ângulo reto em 100 partes, é usado em topografia e quase nunca aparece em provas.

Como exemplo concreto, converta $150°$ em radianos: montando $\dfrac{180°}{\pi}=\dfrac{150°}{x}$, temos $x=\dfrac{150\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}$ rad. Inversamente, $\dfrac{7\pi}{4}$ rad equivale a $\dfrac{7}{4}\cdot180°=315°$.

A ideia central do radiano é medir ângulos pela própria geometria do círculo, e não por uma unidade arbitrária como o grau: imagine um barbante de comprimento igual ao raio encostado sobre a circunferência; o ângulo central que ele enxerga vale exatamente 1 radiano. Como a volta completa tem comprimento $2\pi r$, cabem $2\pi$ raios ao longo dela, logo $360^\circ = 2\pi$ rad. Daí sai a conversão prática $180^\circ = \pi$ rad, e você troca de unidade com uma regra de três: $30^\circ$ é $\pi/6$, $45^\circ$ é $\pi/4$, $60^\circ$ é $\pi/3$ e $90^\circ$ é $\pi/2$.

A ideia central da simetria na primeira volta é que todo ângulo fora do 1º quadrante pode ser "rebatido" sobre um ângulo agudo do 1º quadrante, e esse rebatimento é uma reflexão geométrica no ciclo trigonométrico: o ponto móvel $P(\alpha)$ tem coordenadas $(\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)$, e as simetrias em relação aos eixos e à origem preservam módulos dessas coordenadas, mudando apenas os sinais. Assim, no 2º quadrante o ângulo $\pi-x$ (com $x$ agudo) reflete o ponto em relação ao eixo $y$, mantendo o seno (ordenada) e invertendo o cosseno (abscissa); no 3º, $\pi+x$ reflete na origem, invertendo ambos; no 4º, $2\pi-x$ reflete no eixo $x$, mantendo o cosseno e invertendo o seno.

Por isso $\operatorname{sen}(\pi-x)=\operatorname{sen}x$, $\cos(\pi-x)=-\cos x$, $\operatorname{tg}(\pi+x)=\operatorname{tg}x$ e $\cos(2\pi-x)=\cos x$ — a tangente só é positiva no 1º e 3º quadrantes porque é razão entre seno e cosseno, ambos de mesmo sinal.

A circunferência trigonométrica é o palco onde a periodicidade deixa de ser detalhe e vira regra: cada ponto do ciclo corresponde a um único par ordenado $(\cos x,\ \mathrm{sen}\,x)$, mas uma infinidade de arcos — positivos, negativos, dando quantas voltas forem — desembocam nesse mesmo ponto, e a expressão geral é justamente a ferramenta que captura toda essa família num só golpe. Pense em $x_0=\frac{\pi}{6}$: o ponto $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)$ também é atingido por $\frac{13\pi}{6}$, por $-\frac{11\pi}{6}$ e por qualquer $\frac{\pi}{6}+2k\pi$. Note o que a fórmula faz: fixa uma solução particular — em geral a mais simples, de primeira volta — e acrescenta a liberdade de percorrer o ciclo quantas vezes se queira, no sentido anti-horário ($k>0$) ou horário ($k<0$).

Em vez de memorizar, entenda a origem: a expressão geral é a fusão da periodicidade com a simetria, pois equações como $\mathrm{sen}\,x=\frac{1}{2}$ têm, na primeira volta, dois arcos que as satisfazem, $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{5\pi}{6}$, e cada um deles gera uma sequência própria, de modo que a resposta completa é uma união de famílias, não uma família só. Exemplo concreto: resolver $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ exige localizar os arcos cujo cosseno vale $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, isto é, $\frac{3\pi}{4}$ e $\frac{5\pi}{4}$, donde $x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi$ ou $x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$; se você escrevesse apenas $x=\frac{3\pi}{4}$, perderia metade das soluções e, pior, todas as demais voltas.

A tangente merece cuidado à parte: por ter período $\pi$, e não $2\pi$, a equação $\mathrm{tg}\,x=a$ admite uma única família, $x=\mathrm{arctg}\,a+k\pi$, e ignorar essa diferença de período é um dos erros mais comuns. Na prática, as provas cobram três frentes: reconhecer arcos côngruos a partir de valores maiores que $2\pi$ ou negativos, resolver equações exigindo a expressão geral em vez de uma resposta de primeira volta, e interpretar geometricamente quantos pontos da circunferência satisfazem uma condição dada — sendo que Fuvest e Unicamp costumam disfarçar o pedido dentro de funções compostas ou inequações, enquanto o Enem prefere o viés direto da redução ao primeiro quadrante; dominar a expressão geral é, portanto, o que separa quem acerta o intervalo de quem entrega a lista completa de soluções que o enunciado exige.

A circunferência trigonométrica é o círculo de raio 1 centrado na origem do plano cartesiano, e sua grande utilidade é traduzir ângulos em coordenadas: cada arco de medida $x$ radianos, percorrido a partir do ponto $(1,0)$ no sentido anti-horário, termina num ponto cuja abscissa é $\cos x$ e cuja ordenada é $\operatorname{sen}x$. A partir dessa definição, você deve enxergar os sinais de cada função conforme o quadrante: no primeiro, ambos são positivos; no segundo, só o seno é positivo; no terceiro, ambos negativos; no quarto, só o cosseno é positivo.

Vale lembrar que os sinais podem ser lidos como “seno positivo onde há altura acima do eixo horizontal” e “cosseno positivo onde há deslocamento à direita do eixo vertical”. As simetrias também caem muito: $\operatorname{sen}(\pi-x)=\operatorname{sen}x$, $\cos(\pi-x)=-\cos x$, $\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}x$ e $\cos(-x)=\cos x$; delas surgem reduções como $\operatorname{sen}(150^\circ)=\operatorname{sen}(30^\circ)=\tfrac12$ e $\cos(150^\circ)=-\cos(30^\circ)=-\tfrac{\sqrt3}{2}$, um exemplo concreto que evita decorar tabelas. Em relação a imagem e período, seno e cosseno assumem todos os valores de $-1$ a $1$, ou seja, imagem $[-1,1]$, e repetem seus valores a cada $2\pi$ radianos, isto é, período $2\pi$; por isso $\operatorname{sen}(x+2k\pi)=\operatorname{sen}x$ e $\cos(x+2k\pi)=\cos x$ para todo inteiro $k$.