Limites de funções

A noção intuitiva de limite nasce da ideia de aproximação: imaginamos $x$ percorrendo a reta numérica e nos achegando a $a$ por ambos os lados, observando o comportamento de $f(x)$. Geometricamente, isso equivale a caminhar sobre o gráfico de $f$ em direção ao ponto de abscissa $a$: se, por qualquer trajetória que tomemos, a altura $f(x)$ tende ao mesmo valor $L$, dizemos que o limite é $L$. O ponto crucial é que esse passeio ignora o que acontece exatamente em $a$ — a função pode ter ali um buraco, um salto ou um valor completamente diferente de $L$. É justamente essa independência que torna o limite uma ferramenta poderosa: ele descreve a tendência local da função, não o seu valor pontual.

Os limites laterais refinam essa ideia separando as duas direções de aproximação, e a igualdade entre eles é o critério que formaliza a existência do limite bilateral. Para fixar, considere $f(x)=\frac{|x|}{x}$, definida para $x\neq 0$. À esquerda, $x<0$ implica $|x|=-x$, logo $f(x)=-1$; à direita, $f(x)=+1$. Assim, $\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=-1$ e $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=1$; como são diferentes, o limite bilateral não existe — o gráfico exibe um salto clássico. Já em $g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$, temos $g(x)=x+1$ para $x\neq 1$, de modo que ambos os laterais valem $2$, e o limite existe, embora $g(1)$ não esteja definida.

Antes de tudo, formalize: escrever $\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$ significa que, para todo $\varepsilon>0$, existe $M>0$ tal que $x>M\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon$; já $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ significa que, dado qualquer $K>0$, existe $\delta>0$ tal que $0<|x-a|<\delta\Rightarrow f(x)>K$. A diferença conceitual é profunda: no infinito, você estuda a tendência da altura do gráfico quando se caminha para a direita ou esquerda; junto a um ponto, estuda-se a explosão vertical ao se aproximar de $a$ sem tocá-lo.

As propriedades operatórias valem sob a hipótese de que cada limite individual existe e é finito; quando um deles é infinito ou inexistente, a igualdade pode falhar, e é aí que mora o perigo.

O ponto central é entender por que surge a indeterminação: ela não é um obstáculo matemático real, mas um sinal de que a expressão perdeu informação sobre o comportamento da função perto do ponto. Em $\frac{0}{0}$, numerador e denominador se anulam simultaneamente, restando descobrir qual "vence" na vizinhança; em $\frac{\infty}{\infty}$, ambos explodem, e a comparação entre as taxas de crescimento decide o resultado; já em $\infty-\infty$, duas grandezas divergentes se cancelam parcialmente, e o saldo depende de quem cresce mais rápido. Tome $\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$: substituir dá $\frac{0}{0}$, mas fatorando obtemos $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, logo o limite é $4$.

Em $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+x}{5x^2-2}$, dividimos tudo por $x^2$ e chegamos a $\frac{3}{5}$, pois os termos dominantes mandam. Já em $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$, racionalizamos multiplicando pelo conjugado e obtemos $\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\to\frac{1}{2}$.