Versão generalizada
Com $n$ objetos em $m$ casas, alguma casa recebe pelo menos $\left\lceil\frac{n}{m}\right\rceil$ objetos. Exemplo clássico: entre 13 pessoas, ao menos duas fazem aniversário no mesmo mês; entre 5 pontos num quadrado de lado 2, duas estão a distância $\leq\sqrt{2}$.
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O Princípio da Casa dos Pombos, em sua forma generalizada, também chamada de Princípio de Dirichlet, garante que, ao distribuirmos $n$ objetos em $m$ casas, existirá necessariamente uma casa com pelo menos $\lceil n/m \rceil$ objetos, onde $\lceil \cdot \rceil$ denota a função teto (menor inteiro maior ou igual ao argumento). A demonstração é direta por contradição: se cada uma das $m$ casas recebesse no máximo $\lceil n/m \rceil - 1$ objetos, o total seria no máximo $m(\lceil n/m \rceil - 1) < m \cdot (n/m) = n$, um absurdo, pois teríamos menos de $n$ objetos distribuídos.
Vale notar que a versão simples é o caso particular em que $n > m$, e o princípio também admite uma formulação equivalente: se $n$ objetos ocupam $m$ casas e $n > k \cdot m$, então alguma casa contém ao menos $k+1$ objetos, o que costuma aparecer em problemas de contagem e combinatória.
Esse tipo de raciocínio é frequentemente cobrado em provas como Fuvest, Unicamp e ENEM, geralmente em questões que pedem a garantia mínima de coincidências (aniversários, cores de meias, pontos em regiões geométricas) sem que se conheça a distribuição exata; a chave está em identificar corretamente quem são as "casas" e os "objetos", muitas vezes de forma não óbvia, como dividir um quadrado em quatro quadradinhos menores para concluir que, entre 5 pontos, dois estão a distância no máximo $\sqrt{2}$, pois a diagonal de cada quadradinho de lado 1 mede exatamente $\sqrt{2}$, e pelo princípio generalizado, com $n = 5$ pontos e $m = 4$ regiões, ao menos uma região contém $\lceil 5/4 \rceil = 2$ pontos, cuja distância não supera a diagonal.