Divisão de polinômios

O Briot-Ruffini é um algoritmo de divisão sintética que funciona porque explora a estrutura do divisor linear: ao dividir um polinômio $P(x)$ por $(x-a)$, o resto é sempre uma constante, e os coeficientes do quociente se obtêm por recorrência simples. A ideia central é que, se $P(x)=Q(x)(x-a)+R$, então cada coeficiente de $Q$ é obtido somando ao coeficiente correspondente de $P$ o produto do coeficiente anterior do quociente por $a$ — daí o padrão “multiplica e soma”. Por exemplo, dividir $P(x)=2x^3-3x^2+0x+5$ por $(x-2)$: coeficientes $2,-3,0,5$; baixa o $2$; $2\cdot2=4$, soma a $-3$ dá $1$; $1\cdot2=2$, soma a $0$ dá $2$; $2\cdot2=4$, soma a $5$ dá $9$.

Logo $Q(x)=2x^2+x+2$ e resto $9$. Esse resto, aliás, é exatamente $P(2)$, o que conecta o dispositivo ao Teorema do Resto, e resto zero indica que $a$ é raiz — informação valiosa para fatoração. Quando o divisor é $(ax-b)$, com $a\neq1$, o dispositivo aplica-se com a raiz $\frac{b}{a}$, mas o quociente obtido fica multiplicado por $a$; por isso se divide cada coeficiente por $a$ no final. Exemplo: dividir $6x^2-5x+1$ por $(2x-1)$: raiz $\frac12$, coeficientes $6,-5,1$; baixa $6$; $6\cdot\frac12=3$, soma a $-5$ dá $-2$; $-2\cdot\frac12=-1$, soma a $1$ dá $0$. Quociente bruto $6x-2$; dividindo por $2$, obtém-se $3x-1$, com resto $0$.

A noção de divisibilidade se estende além do simples resto nulo: dizemos que $D$ divide $P$ se existe um polinômio $Q$ tal que $P=D\cdot Q$, e nesse caso toda raiz de $D$ também é raiz de $P$. Isso conecta diretamente com o Teorema de D'Alembert, que garante que $P(a)=0$ se e somente se $(x-a)$ divide $P$. Daí surge o Teorema do Fator, muito útil para fatorar polinômios de grau maior e simplificar frações algébricas.

O Teorema do Resto nasce da própria estrutura da divisão euclidiana de polinômios: se $P(x)$ é dividido por $D(x)$, existem únicos $Q(x)$ e $R(x)$ tais que $P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x)$, com $\deg R<\deg D$. Quando $D(x)=x-a$, essa identidade vira $P(x)=(x-a)Q(x)+R$, em que $R$ é constante; avaliando em $x=a$, o termo $(x-a)Q(x)$ se anula e sobra $P(a)=R$. Daí também decorre o Teorema de D'Alembert: $P(a)=0\iff (x-a)\mid P(x)$, base da fatoração e da busca por raízes. Uma extensão útil aparece em divisores do tipo $ax+b$: escreva $ax+b=a\left(x+\tfrac{b}{a}\right)$ e use a raiz $x=-\tfrac{b}{a}$, obtendo $R=P\!\left(-\tfrac{b}{a}\right)$. Exemplo concreto: o resto de $P(x)=2x^3-5x^2+3x-7$ por $x-2$ é $P(2)=16-20+6-7=-5$; por $2x+1$, é $P\!\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac14-\tfrac54-\tfrac32-7=-\tfrac{23}{2}$.

Quando o divisor tem grau 2, como $x^2-1$, o resto é $R(x)=mx+n$ e basta avaliar $P$ nas raízes do divisor: em $x=1$ e $x=-1$ obtêm-se $P(1)=m+n$ e $P(-1)=-m+n$, sistema que determina $m$ e $n$.

O Teorema de D'Alembert, também chamado de Teorema da Divisibilidade, aprofunda o estudo dos polinômios ao estabelecer uma equivalência entre a divisão por um binômio do primeiro grau e a avaliação numérica do polinômio em um ponto. Sua justificativa vem do Teorema do Resto: ao dividir $P(x)$ por $(x-a)$, obtemos quociente $Q(x)$ e resto $R$ constantes tais que $P(x) = (x-a)\cdot Q(x) + R$. Substituindo $x=a$, todos os termos com $(x-a)$ se anulam e resta $P(a)=R$. Assim, a divisibilidade equivale a $R=0$, ou seja, $P(a)=0$. Essa equivalência é poderosa porque transforma um problema de divisão de polinômios em uma simples substituição numérica. Por exemplo, para verificar se $P(x)=x^3-4x^2+x+6$ é divisível por $(x-2)$, calculamos $P(2)=8-16+2+6=0$; logo, é divisível, e a divisão fornece $Q(x)=x^2-2x-3$, cujas raízes $-1$ e $3$ completam a fatoração $P(x)=(x-2)(x+1)(x-3)$.

Esse processo ilustra como encontrar uma raiz reduz o grau do polinômio, permitindo fatorá-lo sucessivamente.