Teorema fundamental da Aritmética

mmc e mdc

Pela fatoração em primos: o mdc toma os primos comuns com o menor expoente; o mmc, todos com o maior. Vale $\mathrm{mdc}(a,b)\cdot\mathrm{mmc}(a,b)=a\cdot b$. Regra prática: “encontros que se repetem” pedem mmc; “maior pedaço igual” pede mdc.

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O Teorema Fundamental da Aritmética garante que todo inteiro maior que 1 se decompõe de forma única em fatores primos, e é dessa unicidade que nascem as definições precisas de mdc e mmc. Mais do que uma receita, convém enxergar o mdc como o “maior divisor comum” no sentido de divisibilidade: ele é divisível por qualquer outro divisor comum de $a$ e $b$, e por isso é o candidato natural quando se quer repartir quantidades em partes iguais do maior tamanho possível. Já o mmc é o “menor múltiplo comum” no sentido de que divide qualquer outro múltiplo comum, sendo o instrumento certo para sincronizar eventos periódicos.

Dominar esses detalhes evita armadilhas e garante segurança na resolução.

Número de divisores

Se $N=p_{1}^{\alpha_{1}}\cdots p_{k}^{\alpha_{k}}$, então $d(N)=(\alpha_{1}+1)\cdots(\alpha_{k}+1)$. A soma dos divisores é $\prod\frac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i-1}$. Quadrados perfeitos têm número ímpar de divisores — pois só neles um divisor se emparelha consigo mesmo.

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O ponto central é entender de onde vem a fórmula: cada divisor de $N$ é obtido escolhendo, de forma independente, um expoente para cada primo, que pode variar de $0$ até $\alpha_i$. Como essas escolhas são livres e se combinam pelo princípio multiplicativo, surgem $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)$ divisores.