Probabilidade

Experimento aleatório e espaço amostral

Aleatório é o experimento cujo resultado não se pode prever, embora se conheçam todos os possíveis. O espaço amostral $\Omega$ reúne esses resultados. Descrevê-lo corretamente é meio caminho: em dois dados, $\Omega$ tem 36 pares ordenados, não 21 somas.

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Antes de calcular qualquer probabilidade, você precisa saber exatamente o que está sendo sorteado, e é aí que mora a sutileza: um experimento aleatório é aquele em que não há como prever o resultado antes de realizá-lo, mas cujo conjunto de todos os resultados possíveis é conhecido e bem definido. Esse conjunto é o espaço amostral Ω, e cada um de seus elementos é um resultado (ou ponto amostral). A pedra no caminho aparece quando o enunciado é ambíguo: lançar duas moedas e observar "o número de caras" tem Ω = {0, 1, 2}, mas lançar duas moedas distinguindo-as (moeda 1 e moeda 2) tem Ω = {KK, KC, CK, CC}, com quatro resultados equiprováveis. São experimentos diferentes, logo espaços amostrais diferentes, e confundi-los leva a respostas erradas.

É por isso que os livros insistem em que a escolha do espaço amostral faz parte da modelagem: em geral se quer um Ω em que os resultados sejam igualmente prováveis, pois só assim vale a definição clássica P(A) = (nº de casos favoráveis)/(nº de casos possíveis). Como exemplo concreto, considere lançar um dado honesto de seis faces e observar o número obtido: aqui Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e o evento A = "sair número par" corresponde ao subconjunto {2, 4, 6}, de modo que P(A) = 3/6 = 1/2. Se, em vez disso, o experimento fosse lançar dois dados e somar as faces, o espaço amostral seria formado por 36 pares ordenados (1,1), (1,2), …, (6,6), e a soma 7 corresponde a 6 desses pares, dando P(soma 7) = 6/36 = 1/6.

Evento, evento certo e evento impossível

Evento é qualquer subconjunto $A\subset\Omega$. O certo é o próprio $\Omega$, com $P=1$; o impossível é $\varnothing$, com $P=0$. Evento elementar tem um único resultado. A recíproca não vale sempre em espaços infinitos: $P(A)=0$ não obriga $A=\varnothing$.

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Todo experimento aleatório modelado por um espaço amostral $\Omega$ permite destacar famílias de resultados que compartilham uma propriedade comum, e é justamente essa coleção que a teoria trata como evento: um subconjunto de $\Omega$ ao qual se pode atribuir probabilidade, e não uma lista de resultados isolados pensados um a um. Essa sutileza importa porque a probabilidade não é definida sobre elementos soltos, mas sobre subconjuntos, de modo que saber identificar corretamente o evento é metade da resolução em qualquer questão. O evento certo é aquele que ocorre em toda realização do experimento, e sua probabilidade é $1$, enquanto o evento impossível nunca ocorre e tem probabilidade $0$; observar que ambos são subconjuntos extremos de $\Omega$ ajuda a lembrar que $P$ é uma função que vai de conjuntos a números.

Eventos ainda se combinam: a união $A\cup B$ representa “ocorre $A$ ou $B$”, a interseção $A\cap B$ significa “ocorrem ambos”, e o complemento $A^c$ descreve a não ocorrência, com a relação útil $P(A^c)=1-P(A)$. Imagine o lançamento de um dado honesto, $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$: o evento “sair número par” é $A=\{2,4,6\}$ e tem $P(A)=1/2$; o evento “sair maior que $6$” é impossível, pois nenhum resultado o satisfaz; e o evento “sair entre $1$ e $6$” coincide com $\Omega$ e é certo.

Cálculo de probabilidades

Estratégia geral: contar os casos favoráveis e os possíveis com a mesma técnica de combinatória, e dividir. Em problemas com “pelo menos um”, quase sempre é mais curto calcular $1-P(\text{nenhum})$.

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Em probabilidade discreta, todo cálculo nasce de um espaço amostral finito em que cada resultado elementar tem a mesma chance: só assim a probabilidade de um evento vira razão entre o número de elementos dele e o total. Por isso convém sempre declarar o espaço amostral e o evento antes de contar, pois escolhas ambíguas — sortear bolas distintas ou não, cartas com ou sem reposição — mudam a contagem e o resultado.

Vale lembrar que favoráveis e possíveis precisam ser contados com o mesmo critério: se a ordem importa numa contagem, importa na outra; se agrupa em combinações, agrupa nas duas.

Em resumo, o segredo é transformar o problema em uma contagem segura, lembrar dos casos complementares e nunca esquecer que a razão só vale quando os resultados elementares são equiprováveis.

Espaço amostral equiprovável

Todos os resultados têm a mesma chance — dado honesto, moeda não viciada, sorteio aleatório. Só sob essa hipótese vale a razão de casos. Somas de dois dados não são equiprováveis, embora os pares sejam: armadilha clássica.

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A definição formal de probabilidade em um espaço amostral equiprovável é P(A) = número de elementos de A dividido pelo número de elementos do espaço amostral, desde que todos os resultados possuam a mesma probabilidade. Laplace formalizou isso como a razão entre casos favoráveis e casos possíveis, mas o ponto crucial, que muitos vestibulandos ignoram, é a palavra equiprovável: sem ela, a fórmula é inválida. Em problemas de contagem, isso significa que você deve identificar se o experimento realmente trata todos os resultados com o mesmo peso — e, quando não trata, muitas vezes é preciso redefinir o espaço amostral para que a equiprobabilidade reapareça.

Considere o clássico sorteio de duas bolas de uma urna com 3 brancas e 2 pretas, sem reposição: se você listar os pares ordenados (B1,B2), (B1,P1), (P1,B1) etc., cada par tem a mesma chance, mas se resumir a "duas brancas", "uma de cada" e "duas pretas", essas categorias não são equiprováveis, pois "uma de cada" reúne mais pares. O jeito seguro é contar no espaço amostral fino, com resultados simétricos, e só depois agrupar.

$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}$, com $0\leq P(A)\leq 1$, em espaço equiprovável. Pode ser dada em fração, decimal ou porcentagem. Se os casos não forem equiprováveis, some as probabilidades individuais dos resultados que compõem $A$.

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O ponto de partida é o espaço amostral $\Omega$, conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento, e o evento $A$, subconjunto de $\Omega$ cujo resultado nos interessa. A probabilidade mede o grau de confiança na ocorrência de $A$ e se apoia em três axiomas: $P(\Omega)=1$, $P(\varnothing)=0$ e, para eventos mutuamente exclusivos, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. Daí decorrem propriedades úteis, como $P(A^c)=1-P(A)$, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ e $P(A)\leq P(B)$ quando $A\subset B$. Quando os resultados são equiprováveis, recai-se na contagem, mas quando não são, o caminho é ponderar cada resultado por sua probabilidade individual. Exemplo: numa urna com 3 bolas vermelhas e 2 azuis, retiram-se duas sem reposição; a probabilidade de ambas serem vermelhas é $\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$, enquanto a de cores diferentes é $2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{5}$.

Propriedades das probabilidades

$P(\Omega)=1$; $P(\varnothing)=0$; $P(\bar{A})=1-P(A)$ — a mais útil, base da contagem por complementar. Se $A\subset B$, então $P(A)\leq P(B)$. Probabilidade maior que 1 ou negativa é sinal certo de erro na contagem.

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As propriedades das probabilidades formam o alicerce axiomático que sustenta todo cálculo em espaços amostrais, e seu domínio evita erros graves de contagem sob pressão de prova. Partindo dos axiomas de Kolmogorov, toda probabilidade nasce de uma função que associa a cada evento um número entre 0 e 1, com $P(\Omega)=1$, e a aditividade para eventos mutuamente exclusivos garante que, se $A\cap B=\varnothing$, então $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. Daí decorre a regra da união geral, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, cujo termo subtrativo corrige a dupla contagem da interseção — detalhe que a Fuvest e a Unicamp adoram cobrar em problemas de sorteio sem reposição.

Interseção de dois eventos

$A\cap B$ é “$A$ e $B$ ocorrem”. Em geral, $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$. Só quando os eventos são independentes vale o produto simples $P(A)\cdot P(B)$ — aplicar essa forma sem verificar a independência é erro grave.

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A interseção de eventos aparece quando queremos a probabilidade de duas coisas acontecerem juntas, mas o ponto que costuma separar o aluno preparado do desatento é perceber que a ordem da informação muda o cálculo. Pense numa urna com 5 bolas vermelhas e 3 azuis, retirando-se duas sem reposição: a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda também é $P(V_1\cap V_2)=P(V_1)\cdot P(V_2|V_1)=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}=\frac{5}{14}$.