Forma trigonométrica dos números complexos

O plano de Wessel-Argand-Gauss é a ponte que transforma a álgebra dos complexos em geometria: ao associar $z=a+bi$ ao ponto $(a,b)$, cada operação ganha significado visual, o que resolve questões que seriam pesadas algebricamente. A soma $z+w$ vira a regra do paralelogramo, e a multiplicação por $i$ é uma rotação de $90^\circ$ no sentido anti-horário — daí $i^2=-1$ aparecer como meia-volta. Mais forte ainda é a leitura modular: como $|z|$ é a distância de $z$ à origem e $|z-w|$ é a distância entre $z$ e $w$, condições algébricas viram lugares geométricos. Por exemplo, $|z-(1+i)|=2$ descreve a circunferência de centro $1+i$ e raio $2$; já $|z-1|=|z-i|$ é o conjunto dos pontos equidistantes de $(1,0)$ e $(0,1)$, isto é, a reta $y=x$, mediatriz do segmento entre eles.

Dominar essa tradução entre símbolo e figura é o que economiza tempo e evita contas desnecessárias na prova.

O módulo de um número complexo $z=a+bi$ generaliza a ideia de valor absoluto dos reais e mede a distância do afixo $P(a,b)$ à origem no plano de Argand-Gauss, o que se obtém aplicando Pitágoras ao triângulo de catetos $a$ e $b$. Convém lembrar que $|z|^2=z\cdot\bar z=a^2+b^2$, relação com o conjugado que simplifica muitas contas, pois evita raízes intermediárias, e da qual decorre imediatamente que $|z|=|\bar z|$ e que $\frac{1}{z}=\frac{\bar z}{|z|^{2}}$ para $z\neq 0$. O módulo é sempre um número real não negativo, e vale zero apenas quando $z=0$, já que $a^2+b^2=0$ obriga $a=b=0$. A interpretação geométrica da desigualdade triangular $|z+w|\leq|z|+|w|$ é direta: os vetores $z$ e $w$ formam, com a soma, um triângulo cujo lado maior nunca supera a soma dos outros dois, havendo igualdade quando os vetores têm mesma direção e sentido, isto é, quando $z$ e $w$ são múltiplos positivos.

Veja um exemplo concreto: para $z=3+4i$, temos $|z|=\sqrt{9+16}=5$; tomando $w=5+12i$, com $|w|=13$, resulta $zw=-33+56i$ e $|zw|=\sqrt{1089+3136}=65=5\cdot13$, confirmando a propriedade multiplicativa. Note ainda que $|z|$ é a raiz quadrada do produto $z\bar z$, de modo que calcular $|z|^2$ poupa trabalho, especialmente em expressões com potências.

Na forma trigonométrica $z=\rho(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)$, o argumento é a medida angular que localiza geometricamente o afixo no plano de Argand-Gauss, servindo como uma "bússola" que, junto ao módulo, reconstrói totalmente o número complexo. Enquanto o módulo informa a distância à origem, o argumento codifica a direção, e por isso dois complexos com mesmo argumento estão sobre uma mesma semirreta pela origem — daí a relação $\arg(z_1)=\arg(z_2)$ ou diferem por $2k\pi$ caracterizar alinhamento. A definição exige cuidado: como $\cos\theta=a/\rho$ e $\operatorname{sen}\theta=b/\rho$ fixam simultaneamente o quadrante, a simples razão $b/a$ (ou $\arctan$) perde informação, pois ângulos suplementares têm a mesma tangente; por isso a fórmula $\theta=\arctan(b/a)$ só vale isoladamente no primeiro e quarto quadrantes.

No segundo quadrante, com $a<0$ e $b>0$, obtém-se diretamente $\theta=\pi+\arctan(b/a)$, pois $\arctan(b/a)<0$ e a soma devolve o valor correto em $( \pi/2,\pi)$; no terceiro, $\theta=\pi+\arctan(b/a)$ também funciona, já que $\arctan(b/a)>0$ e resulta em $(\pi,3\pi/2)$. Tome $z=-1+i$: $\rho=\sqrt2$, $a=-1$, $b=1$; como $a<0<b$, está no segundo quadrante, logo $\theta=\pi+\arctan(1/(-1))=\pi-\pi/4=3\pi/4$, e de fato $\cos\theta=-\sqrt2/2$ e $\operatorname{sen}\theta=\sqrt2/2$ confirmam a coerência. Como método independente, pode-se resolver o sistema $\cos\theta=a/\rho$ e $\operatorname{sen}\theta=b/\rho$ via arcos notáveis, sem apelar à tangente.

Todo número complexo $z=a+bi$ pode ser lido como um ponto $(a,b)$ do plano de Argand-Gauss, e a chave da forma polar é trocar essas coordenadas cartesianas por duas medidas geométricas: o módulo $\rho=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, que é a distância de $z$ à origem, e o argumento $\theta=\arg(z)$, o ângulo que o segmento $Oz$ forma com o eixo real positivo, medido no sentido anti-horário. Daí saem as relações $a=\rho\cos\theta$ e $b=\rho\operatorname{sen}\theta$, que nada mais são do que as projeções do vetor $Oz$ nos eixos. O argumento não é único: qualquer $\theta+2k\pi$ representa o mesmo ponto, por isso se fala em argumento principal, tomado em geral no intervalo $[0,2\pi)$ ou $(-\pi,\pi]$, e é essencial acertar o quadrante, pois $\arctan(b/a)$ sozinho só devolve ângulos do primeiro e do quarto quadrantes.

Como exemplo, tome $z=1+i\sqrt3$: o módulo é $\rho=\sqrt{1+3}=2$ e o argumento satisfaz $\cos\theta=1/2$ e $\operatorname{sen}\theta=\sqrt3/2$, logo $\theta=\pi/3$ e $z=2\,\mathrm{cis}\,(\pi/3)$. Elevar à décima potência vira uma conta de uma linha pela Primeira Fórmula de De Moivre, $z^{10}=2^{10}\mathrm{cis}(10\pi/3)=1024\,\mathrm{cis}(4\pi/3)$, resultado impossível de obter com conforto na forma algébrica.