Operações com polinômios
Soma e subtração combinam termos semelhantes; a multiplicação é distributiva, somando expoentes de mesma base. A divisão euclidiana garante $P(x)=D(x)Q(x)+R(x)$ com $\partial R\lt\partial D$ ou $R=0$ — se o divisor é do 1º grau, o resto é constante. Efetue pelo método das chaves, ordenando os polinômios e completando com zeros os expoentes faltantes, erro que desalinha toda a conta.
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Vale enxergar os polinômios como um anel de funções munido das operações usuais, o que justifica propriedades que usamos sem perceber: a soma é comutativa e associativa, a multiplicação distribui sobre ela, e existe o elemento neutro multiplicativo, o polinômio constante $1$. Uma consequência elegante é que $\partial(PQ)=\partial P+\partial Q$ em corpos de característica zero, o que garante que o produto de polinômios não nulos nunca é o polinômio nulo — por isso o anel $\mathbb{R}[x]$ é um domínio de integridade, mas não um corpo, já que só os polinômios de grau zero têm inverso multiplicativo. Daí decorre o algoritmo da divisão: dados $P$ e $D\neq 0$, existem únicos $Q$ e $R$ satisfazendo $P=DQ+R$ com $\partial R<\partial D$, e essa unicidade é o que torna a divisão uma ferramenta de fatoração.
Por exemplo, dividindo $P(x)=2x^3-3x^2+0x+5$ por $D(x)=x-2$, obtemos $Q(x)=2x^2+x+2$ e $R=9$, pois $2\cdot 8-3\cdot 4+5=9$ confere com o Teorema do Resto, que afirma $R=P(a)$ quando $D(x)=x-a$. Esse teorema é a ponte para o Teorema de D'Alembert, segundo o qual $x-a$ divide $P$ se, e somente se, $P(a)=0$, base da decomposição em fatores lineares e da determinação de raízes racionais.
Dominar o método das chaves, o Teorema do Resto e a lógica do anel evita erros de sinal e prepara o aluno para questões que misturam divisão, raízes e sistemas lineares, tornando esse tópico um dos mais rentáveis da álgebra elementar.