Esferas

A esfera é o sólido geométrico que, junto com o cilindro circunscrito, rendeu a Arquimedes o epitáfio de um cilindro inscrito numa esfera, pois ele provou que a razão entre os volumes é 2:3 e entre as áreas totais é 1:1 — um resultado tão elegante que resistiu vinte séculos até o Cálculo de Newton e Leibniz generalizar as deduções. Na prática, o volume acumula o crescimento cúbico do raio, então dobrar o raio multiplica o volume por oito, o que explica por que uma bola de basquete não é apenas "um pouquinho maior" que uma de tênis. A área, por sua vez, cresce com o quadrado do raio e equivale exatamente à superfície lateral do cilindro que a circunscreve, uma coincidência nada casual.

Quanto à secção plana, a relação pitagórica $r^{2}+d^{2}=R^{2}$ é a chave para resolver problemas de planos cortantes: imagine uma esfera de raio 5 cm seccionada por um plano a 3 cm do centro — o círculo seccionado terá raio 4 cm e área $16\pi$ cm², formando o clássico triângulo 3-4-5.

A calota esférica é a região obtida quando um plano corta a esfera: se o plano tangencia (corte raso), gera-se uma calota pequena; se passa perto do centro, uma calota grande que pode ultrapassar o hemisfério.

O fuso e a cunha nada mais são do que a versão angular dos setores circulares: assim como um setor de círculo é a região varrida por um raio ao girar um ângulo α, o fuso é a faixa da superfície esférica gerada quando um semicírculo máximo gira α em torno do eixo que contém seu diâmetro, e a cunha é o sólido que esse mesmo giro produz. A intuição correta é pensar em coordenadas esféricas: fixando a latitude e variando a longitude de 0 a α, obtém-se o fuso; acrescentando o raio r de 0 a R, obtém-se a cunha. Daí as fórmulas saírem naturalmente de integrais ou, mais simplesmente, de proporções — se α = 2π recupera-se a esfera, então qualquer fração α/2π multiplica a área total 4πR² e o volume total (4/3)πR³, o que confirma 2R²α e 2R³α/3.