Função inversa e função composta

A função inversa só faz sentido quando pensamos em $f$ como uma correspondência que pode ser percorrida nos dois sentidos, ou seja, quando cada valor do contradomínio é atingido por exatamente um elemento do domínio. Isso exige as duas condições de bijetividade: injetora, para que não haja dois $x$ distintos produzindo o mesmo $y$, e sobrejetora, para que todo elemento do contradomínio seja efetivamente imagem de alguém. Quando isso falha, ou não existe inversa, ou é preciso restringir o domínio, como se faz com $f(x)=x^2$ em $\mathbb{R}$, que só admite inversa se tomarmos $x\ge 0$, resultando em $f^{-1}(y)=\sqrt{y}$. Um ponto central é que domínio e imagem trocam de papel: se $f:A\to B$ é bijetora, então $f^{-1}:B\to A$, e essa troca explica por que a simetria em relação à reta $y=x$ aparece nos gráficos — cada ponto $(a,b)$ de $f$ corresponde a $(b,a)$ em $f^{-1}$.

Vale destacar ainda a relação com a composta, pois $f^{-1}\circ f$ e $f\circ f^{-1}$ produzem a função identidade em seus respectivos domínios, o que costuma ser usado para verificar se duas funções são realmente inversas. Como exemplo concreto, tome $f(x)=2x+3$; isolando $x$ em $y=2x+3$, obtemos $x=\frac{y-3}{2}$, e trocando as variáveis chegamos a $f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$; conferindo, $f(f^{-1}(x))=2\cdot\frac{x-3}{2}+3=x$, confirmando a identidade.

A composição de funções é, na essência, um encadeamento de máquinas: a saída de uma vira a entrada da outra, e o domínio efetivo de $g\circ f$ é formado pelos $x$ do domínio de $f$ cuja imagem $f(x)$ cai no domínio de $g$, de modo que calcular o domínio da composta antes de compor as expressões é o passo que mais derruba candidato.

Há ainda a cobrança conceitual: verificar se $g\circ f$ é injetora ou sobrejetora sabendo propriedades de $f$ e $g$, e usar a associatividade para operar com três ou mais funções sem se perder na ordem, já que a composta não é comutativa e inverter a ordem muda o resultado, o domínio e até a existência da função.